26.8.07

Preferencias (2da parte)

Ahora sí estamos en condiciones de volver con más precisión al tema de las preferencias que mencionáramos aquí. Habíamos dicho que en una situación dada, cada jugador disponía de opciones que lo conducían a distintos resultados, y que de alguna manera debíamos poder comparar entre estos resultados, decir cuáles prefería el jugador. Habíamos definido así un conjunto de preferencias, y nuestra primera intención es definir un orden sobre las mismas. El paso siguiente será representarlas numéricamente, mediante una función de utilidad.

Al conjunto de preferencias (podemos representar cada una con letras x, y, z,...) le pediremos que cumpla los siguientes tres axiomas:

i) Completitud: x es preferida a y, ó y es preferida a x

ii) Transitividad: si x es preferida a y, e y es preferida a z, entonces x es preferida a z.

iii) Reflexividad: x es preferida a x.

Observemos que podemos reemplazar la frase "es preferida a" por el símbolo matemático de "menor o igual", y si interpretamos x, y, z,... como valores numéricos del beneficio que obtenemos con cada elemento del conjunto de preferencias, de golpe todo parece tener sentido: en cada situación de un juego, preferiremos aquellas movidas o decisiones que nos hagan ganar más. Sin embargo, se pueden hacer varias objeciones a esta forma de pensar. Mencionemos por ahora dos de ellas, si bien hay más:

a.- No se ha definido ese valor numérico:

Esta es la más importante de todas, después de todo, tal vez no exista. Más aún, para demostrar que existe un valor numérico para cada preferencia (la función de utilidad), hará falta pedir un cuarto axioma.

b.- Distintas movidas podrían tener el mismo valor numérico:

En efecto, no hemos pedido que si x es preferida a y, e y es preferida a x, entonces x = y. En la práctica, suelen presentarse situaciones diferentes pero que nos dan lo mismo, y reemplazar ambas por un único valor numérico puede no ser del todo bueno. Este es el concepto de indiferencia. Un punto importante es que esta objeción seguirá presente aún cuando definamos una función de utilidad, así como algunas otras que podríamos hacer.

También, cada una de los tres axiomas podría ser criticado desde el punto de vista social o económico, exhibiendo situaciones donde no es razonable pedir que se cumpla. Estas críticas son también globales, y van más allá de la existencia de la función de utiilidad, así que las dejaremos para más adelante, ya que corresponden a la aplicación o la interpretación de esta teoría matemática, y no a la teoría en sí misma.

Por lo pronto, los tres axiomas anteriores sobre las preferencias nos dicen que el jugador debe tener un orden bien definido sobre sus preferencias.

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23.8.07

Arquimedianidad

Todos sabemos qué son los números reales. Hasta que un día nos los presentan axiomáticamente, y a partir de ahí sólo creemos que sabemos qué son. Los axiomas se dividen en tres grandes grupos, uno referido a las propiedades de la suma y el producto (cómo operar con los números), otro a la noción de orden (lo cual nos permite pensar los números como alineados en una recta), y el tercero a la completitud (que esa recta no tiene agujeros).

Pero esta intuición de una recta donde a cada punto le corresponde un número que es la distancia respecto al origen nos comienza a quedar chica, en especial cuando uno observa que hay que demostrar propiedades muy elementales utilizando sólo los axiomas que nos dieron.

Por ejemplo, algo tan simple como suponer que para todo número real x podemos encontrar un número natural n que sea mayor debe demostrarse.

Uno diría que dado x, si tomamos su parte entera [x] (el mayor número natural que es menor a x) y ahora le sumamos 1, obtenemos un número natural más grande, [x] + 1... ¡pero la definición axiomática es independiente del desarrollo decimal según el cual tomamos parte entera!

Demostrar esta propiedad nos obliga a hacer trampas: durante mucho tiempo, ella misma fue un axioma (el axioma de Arquímedes, quien lo planteó de modo ligeramente diferente), y actualmente se la deduce del axioma del supremo (éste dice que todo conjunto acotado superiormente tiene una cota superior que es la menor de todas... definir todo con precisión me llevaría varias líneas, así que los invito a los interesados a leerlo en cualquier buen libro de análisis).

La versión de Arquímedes decía más o menos lo siguiente: dado un número positivo x, y otro y, existe algún número natural n tal que nx es mayor que y. Para ser más precisos, habría que plantearlo en relación a segmentos, y esto nos dice que con un número suficiente de segmentos de longitud x es posible cubrir un segmento mayor de longitud y.

Se podrán preguntar -si es que llegaron a esta parte del artículo- a qué viene esta disgresión sobre los números reales, cuando veníamos hablando de cosas más entretenidas como teoría de juegos.

Bien, en cualquier momento veremos que allí también aparece la arquimedianidad (¡y de qué modo!)

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14.8.07

Fibonacci y el número de oro

Seguramente conozcan la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., y también su relación con el número de oro, ya que es el límite del cociente de dos números consecutivos. Esto es, cuando tomo números de Fibonacci cada vez mas grandes, su cociente se aproxima cada vez más a cierto valor, y éste es el número de oro.

No es difícil demostrarlo: la sucesión satisface la recurrencia
Fn+2 = Fn+1 + Fn

y si dividimos cada miembro por Fn+1, obtenemos
Fn+2/Fn+1 = 1 + Fn/Fn+1,

con lo cual, si llamamos X al número de oro, cuando tomamos límite en n, nos queda
X = 1 + 1/X

despejando, hallar X equivale a resolver la ecuación cuadrática
X2 = X + 1.


Esto es muy conocido, y lo he visto en más de un ejercicio de examen sobre límites. Pero no conocía la siguiente forma de calcular las potencias del número de oro X, y que se puede demostrar sin mucha dificultad:

X2 = X + 1

X3 = 2X + 1

X4 = 3X + 2

X5 = 5X + 3

X6 = 8X + 5

X7 = 13X + 8

X8 = 21X + 13


¿se animan a demostrarlo?

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9.8.07

Nota al lector

Paulo Ribemboim, autor de "The New Book of Prime Number Records", escribió también un interesante libro: Fermat's Last Theorem for Amateurs. Una nota al lector, inmediatamente después del prefacio, anuncia que en el capítulo de derechos humanos de toda constitución debería figurar:

Es un derecho inalienable de cada individuo producir su propia demostración del último teorema de Fermat.

Sin embargo, tal solemne afirmación sobre el último teorema de Fermat (de ahora en adelante, EL teorema) debería atemperarse con los siguientes artículos:

Art. 1. Ningún intento de demostrar EL teorema debe duplicar jamás una anterior.

Art. 2. Es una ofensa criminal enviar demostraciones falsas a profesores que se ganan la vida arduamente enseñando como no concebir demostraciones falsas para EL teorema.

Infringir el último conduce directamente al Infierno. El criminal sólo puede regresar al Paraíso después de que haya entendido la demostración de Wiles y sea capaz de reproducirla.

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6.8.07

Un duelo (segunda parte)

(a la primera parte)

Supongamos que la distancia inicial entre dos duelistas (A y B) es 1 (tal vez medida en años luz, no dejemos que nos parezca una distancia corta), y que la probabilidad de acertar de A cuando están a distancia x es p(x), mientras que la de B es q(x). Podemos pedir p(0)=q(0)=1, p(1)=q(1)=0. Si uno de ellos dispara y falla, el otro puede seguir acercándose para aumentar sus chances de acertar.

Ahora vamos a suponer que A tiene más información de la que realmente tiene: sabe que su rival va a disparar cuando estén a distancia x. Esto le permite demorar su tiro como mínimo hasta ese momento, ya que no tiene sentido que dispare antes (pues en caso de fallar, cuando estén a distancia x B preferirá seguir avanzando hasta que estén a distancia 0). ¿Le convendrá disparar a A a esa misma distancia, o debería dejar que B tire y seguir avanzando?

Si A dispara a esa distancia, la probabilidad de ganar es p(x), y si deja que B dispare es de 1-q(x) (es decir, el caso en que B falle). ¿Qué debe hacer? Bueno, esto depende de cuál sea mayor:

  • si p(x) > 1-q(x), debe disparar

  • si p(x) < 1-q(x), debe esperar



  • Es decir, debe esperar hasta que p(x) = 1-q(x).

    Repitiendo el análisis para B, vamos a llegar a la siguiente conclusión: hay un valor crítico de la distancia xd para el cual deben disparar, para el que se tiene
    p(xd) + q(xd)= 1.


    i) le dejo, como ejercicio sencillo para quien tenga ganas de revisar los conceptos, que haga las modificaciones correspondientes si la probabilidad de acertar a la distancia 1 es mayor a cero, o si la probabilidad de acertar a distancia 0 es menor a uno.

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    3.8.07

    Un duelo

    De chicos seguramente hemos utilizado la pisada para decidir entre dos quién ganaba. El procedimiento, según recuerdo, era bastante sencilo: nos ubicábamos a cierta distancia y podíamos elegir entre saltar y llegar a donde estaba el otro, o avanzar un poco (un paso, o menos) y dejarle el turno al otro.

    Hay poca diferencia teórica entre este juego y un duelo a pistola con un solo tiro en el que podemos ir acercándonos al otro, en ambos podemos elegir entre disparar o acortar la distancia que nos separa del rival, arriesgándonos al avanzar a que sea nuestro rival quien dispare primero. El problema se puede modelar con muy pocas herramientas de teoría de juegos, y sólo depende de conocer la probabilidad de acertar que tiene cada jugador si dispara cuando están a distancia x. En un próximo post la desarrollo.


    (a la segunda parte)

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