20.5.07

Pierre de Fermat

Como seguramente sabrán, el teorema de Fermat es aquella corta afirmación según la cual no hay soluciones enteras (es decir, números a, b, y c enteros) que cumplan
an + bn = cn

si n es mayor que 2. De algún modo llegó a esta conclusión en 1637 mientras leía sobre las ternas pitagóricas en una copia de la Aritmetica de Diofanto.

Las ternas pitagóricas son las posibles longitudes enteras de los lados y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es decir, aquellos enteros a, b, y c que cumplen el teorema de Pitágoras
a2 + b2 = c2

Pero Fermat sólo nos dio el enunciado, y escribió a continuación que el margen del libro era demasiado estrecho para anotar allí la demostración. Que sepamos, jamás volvió a hablar o escribir del tema. Fermat murió en 1665, y se llevó la demostración a la tumba. Pasarían más de 300 años antes de que otro matemático, Andrew Wiles, fuera capaz de dar una demostración.

Hay una incógnita flotando sobre este teorema: ¿tenía Fermat en realidad una demostración? Hay distintas razones para creer que no:

i) nunca le mencionó su teorema a sus numerosos corresponsales (sólo los casos n=3 y n=4), sin embargo acostumbraba desafiar a los matemáticos de toda Europa.

ii) todos sus otros enunciados fueron demostrados a lo largo del tiempo con técnicas elementales, algunos por sus contemporáneos, otros en los siglos siguientes; este teorema resistió las mejores mentes de todo el mundo.

iii) es la única mención en toda la obra de Fermat de una curva de género distinto de cero (esto fue notado por Andre Weil, uno de los más destacados matemáticos de teoría de números del siglo veinte y también miembro fundador del grupo de matemáticos conocido con el nombre de Nicolás Bourbaki). El concepto de género no es sencillo de explicar aquí y ahora, tal vez en otra ocasión podamos referirnos a él.

¿Tenía o no una demostración? Poco importa ya. ¡Lo que hubiese sido una pena es que no anotase aquella frase en el margen del libro!

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