Un duelo (segunda parte)

(a la primera parte)

Supongamos que la distancia inicial entre dos duelistas (A y B) es 1 (tal vez medida en años luz, no dejemos que nos parezca una distancia corta), y que la probabilidad de acertar de A cuando están a distancia x es p(x), mientras que la de B es q(x). Podemos pedir p(0)=q(0)=1, p(1)=q(1)=0. Si uno de ellos dispara y falla, el otro puede seguir acercándose para aumentar sus chances de acertar.

Ahora vamos a suponer que A tiene más información de la que realmente tiene: sabe que su rival va a disparar cuando estén a distancia x. Esto le permite demorar su tiro como mínimo hasta ese momento, ya que no tiene sentido que dispare antes (pues en caso de fallar, cuando estén a distancia x B preferirá seguir avanzando hasta que estén a distancia 0). ¿Le convendrá disparar a A a esa misma distancia, o debería dejar que B tire y seguir avanzando?

Si A dispara a esa distancia, la probabilidad de ganar es p(x), y si deja que B dispare es de 1-q(x) (es decir, el caso en que B falle). ¿Qué debe hacer? Bueno, esto depende de cuál sea mayor:

si p(x) > 1-q(x), debe disparar

si p(x) < 1-q(x), debe esperar

Es decir, debe esperar hasta que p(x) = 1-q(x).

Repitiendo el análisis para B, vamos a llegar a la siguiente conclusión: hay un valor crítico de la distancia x_d para el cual deben disparar, para el que se tiene
p(x_d) + q(x_d)= 1.

i) le dejo, como ejercicio sencillo para quien tenga ganas de revisar los conceptos, que haga las modificaciones correspondientes si la probabilidad de acertar a la distancia 1 es mayor a cero, o si la probabilidad de acertar a distancia 0 es menor a uno.