23.8.07

Arquimedianidad

Todos sabemos qué son los números reales. Hasta que un día nos los presentan axiomáticamente, y a partir de ahí sólo creemos que sabemos qué son. Los axiomas se dividen en tres grandes grupos, uno referido a las propiedades de la suma y el producto (cómo operar con los números), otro a la noción de orden (lo cual nos permite pensar los números como alineados en una recta), y el tercero a la completitud (que esa recta no tiene agujeros).

Pero esta intuición de una recta donde a cada punto le corresponde un número que es la distancia respecto al origen nos comienza a quedar chica, en especial cuando uno observa que hay que demostrar propiedades muy elementales utilizando sólo los axiomas que nos dieron.

Por ejemplo, algo tan simple como suponer que para todo número real x podemos encontrar un número natural n que sea mayor debe demostrarse.

Uno diría que dado x, si tomamos su parte entera [x] (el mayor número natural que es menor a x) y ahora le sumamos 1, obtenemos un número natural más grande, [x] + 1... ¡pero la definición axiomática es independiente del desarrollo decimal según el cual tomamos parte entera!

Demostrar esta propiedad nos obliga a hacer trampas: durante mucho tiempo, ella misma fue un axioma (el axioma de Arquímedes, quien lo planteó de modo ligeramente diferente), y actualmente se la deduce del axioma del supremo (éste dice que todo conjunto acotado superiormente tiene una cota superior que es la menor de todas... definir todo con precisión me llevaría varias líneas, así que los invito a los interesados a leerlo en cualquier buen libro de análisis).

La versión de Arquímedes decía más o menos lo siguiente: dado un número positivo x, y otro y, existe algún número natural n tal que nx es mayor que y. Para ser más precisos, habría que plantearlo en relación a segmentos, y esto nos dice que con un número suficiente de segmentos de longitud x es posible cubrir un segmento mayor de longitud y.

Se podrán preguntar -si es que llegaron a esta parte del artículo- a qué viene esta disgresión sobre los números reales, cuando veníamos hablando de cosas más entretenidas como teoría de juegos.

Bien, en cualquier momento veremos que allí también aparece la arquimedianidad (¡y de qué modo!)

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