14.8.07

Fibonacci y el número de oro

Seguramente conozcan la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., y también su relación con el número de oro, ya que es el límite del cociente de dos números consecutivos. Esto es, cuando tomo números de Fibonacci cada vez mas grandes, su cociente se aproxima cada vez más a cierto valor, y éste es el número de oro.

No es difícil demostrarlo: la sucesión satisface la recurrencia
Fn+2 = Fn+1 + Fn

y si dividimos cada miembro por Fn+1, obtenemos
Fn+2/Fn+1 = 1 + Fn/Fn+1,

con lo cual, si llamamos X al número de oro, cuando tomamos límite en n, nos queda
X = 1 + 1/X

despejando, hallar X equivale a resolver la ecuación cuadrática
X2 = X + 1.


Esto es muy conocido, y lo he visto en más de un ejercicio de examen sobre límites. Pero no conocía la siguiente forma de calcular las potencias del número de oro X, y que se puede demostrar sin mucha dificultad:

X2 = X + 1

X3 = 2X + 1

X4 = 3X + 2

X5 = 5X + 3

X6 = 8X + 5

X7 = 13X + 8

X8 = 21X + 13


¿se animan a demostrarlo?

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