Estrategias mixtas

Habíamos hablado (aquí) de las estrategias puras. Lamentablemente, no son suficientes para todo juego. Es decir, hay situaciones donde no hay estrategias puras, y uno debe recurrir a estrategias mixtas.

El mejor ejemplo de esto -y cualquier argentino (con dolor) o alemán (con alegría) lo recordará- es el problema de patear un penal. Simplificando, digamos que el jugador y el arquero sólo pueden ir a izquierda o a derecha, y que si ambos eligen el mismo lado (resp., lados opuestos) gana el arquero (resp. gana el jugador). Si el arquero (o el jugador) tiene una rutina establecida, una estrategia pura que le dice a dónde debe patear, y el otro la descubre, entonces es fácil anticiparse.

En estos casos se dice que hay que emplear una estrategia mixta, que será una combinación de las dos estrategias disponibles: patear a la derecha, patear a la izquierda. Sólo falta decidir con qué frecuencia hay que hacerlo a cada lado, pero eso dependerá de nuestra habilidad. Si nos da lo mismo izquierda o derecha, se repartirán un 50% para cada dirección (por ejemplo tirando una moneda antes de cada tiro), pero si nuestra habilidad es mayor en una dirección que en otra, entonces habrá que buscar la proporción justa de tiros entre ambas.

En definitiva, una estrategia mixta es una distribución de probabilidad entre las opciones que tenemos.

Teoría de juegos y estrategia puras

Entre 1928 y 1941 el genial matemático húngaro John von Neuman desarrolló los principales elementos de la teoría de juego, y en 1944 publicó con Oskar Morgenstern el que sería el primer libro sobre este tema.

Es cierto que antes algunos matemáticos habían obtenido unos pocos resultados aislados para distintos problemas (regatas, poker, juegos de cartas), pero von Neuman sistematizó los problemas e introdujo la idea de estrategia pura.

¿Qué es una estrategia pura? Simplemente es una decisión a priori del jugador sobre qué jugar ante cada situación del juego. Podemos considerar que un juego es una sucesión de movidas, y que jugar consiste en elegir nuestras movidas: una estrategia pura es entonces una regla sobre cómo hacer esta elección. Se puede considerar que una estrategia pura restringe nuestra libertad de actuar, y así es. Podríamos incluso programar una computadora para que la lleve adelante y despreocuparnos.

Estaremos de acuerdo, creo yo, que al jugar de esta manera eliminamos la diversión.

Bien, así debe ser. El objetivo de la teoría de juegos no es divertirse ni pasar el rato: el objetivo es ganar. (continuará)