De regreso

No fue mi intención dejar pasar seis meses desde el último post, así se dan las cosas a veces, pero aquí estoy de vuelta. Gracias a todos los que me agregaron en sus links y no me borraron, por tenerme paciencia.

Por hoy, sólo como para calentar motores, unas cuantas erratas que descubre don Gaiferos:

2 + √ 2 = 5.38

5 + 2 + √ 2 = 7.38

...y la tercera la dejo para que la descubran. ¿Habrá más? ¿Qué ley sigue el pseudo-triángulo de Tartaglia armado en el tablero?

Debates sobre la ciencia

Islamic science and the long siesta. (Lo linkeo principalmente para rastrear fuentes sobre la ciencia en el Islam, dado que la mayoría de los datos que menciona se centran en las ciencias biológicas.)

Hay un dato parcialmente curioso, y es que la polémica se inicia cuando Steven Weinberg negó en un artículo que hubiese desarrollo científico en el Islam tras la muerte al-Ghazali en 1111. Curiosa elección, entre otras cosas, porque podría haber elegido la muerte de Omar Khayyam, en 1122, y sobre todo porque ignora a los que le siguieron (ver, por ejemplo una lista de matemáticos aquí).

Pero no es de extrañar en Weinberg, excelente físico que cuando se aproxima aunque sea tangencialmente a temas culturales o humanísticos suele mostrar cierta ignorancia.

Mejor que la ciencia ficción

Este es, creo yo, el mejor motivo para dedicarse a la ciencia: es mejor que la ciencia ficción.

¿Una idea bizarra? ¿Una situación imposible? ¿Explicaciones alternativas? Sólo es necesario ser capaz de sacudirse de encima una idea tan tradicional como la de una variable temporal recorrida a una velocidad fija... y pasar a dos variables o a un tiempo que se va deteniendo.

¿Suena increíble, verdad? Si, pero no para todos. Este artículo en el Telegraph nos habla de eso.

Gorilas y chimpancés

Se dice que estas especies son tan parecidas al hombre que no se sabe en qué orden se fueron separando las tres de un mismo tronco común.

Si bien muchísimas especies viven en grupos o proto-sociedades, con perfiles y funciones bien definidos para sus integrantes, hasta donde se sabe son las únicas tres especies que se organizan para hostigar, atacar, y hasta exterminar a poblaciones de semejantes (el hombre, además, extermina gorilas y chimpancés, pero lo interesante aquí es el comportamiento con los de su propia especie).

La ética de borrar una mala memoria

Para una biopsia, no siempre es necesario hacer anestesia general. Y por eso, o mejor dicho por miedo, hay pacientes que prefieren que sea local.

Muy resumido: en cierta ocasión, un médico retira una muestra de un hueso con anestesia local, si bien había un anestesista por las dudas. Durante la intervención, el patólogo se comunica con el quirófano, y sin saber que la paciente está despierta, da por el altavoz en lugar de por teléfono su terrible veredicto. La paciente se desespera al oírlo, y el médico da la orden: el anestesista la duerme con profopol, un químico que le borra los recuerdos de esos últimos diez minutos:

The drug, sometimes called "milk of amnesia," stings some patients sharply in the veins, but what it also does is erase your last few minutes. (Think of the "neuralyzer" from the Men in Black movies.) Oh, and it puts you to sleep. An amazing molecule, a great anesthesiologist and a great save.

Not everyone agreed. I looked up at three sets of eyes, the nurses' eyes, that bored into Frank and me accusingly. How can you do that? they demanded to know. Don't you need consent or at least fill out some kind of form before you steal a patient's last 10 minutes? But all I could say was, "Awesome job, Frank." Somehow with that, and with the calm sleep on their patient's face, we were given not forgiveness, but a reprieve.

La historia completa, contada por el médico, aquí.

Continuemos

Pasaron varios meses sin nuevos posts, debido a temas que no vienen al caso.

Una buena razón para mantener este weblog es poder linkear noticias atemporales, aquellas que descubro por azar y que no puedo procesar en pocos minutos. Historias que requieren una digestión lenta, y sobre las que no se puede dar una opinión en dos líneas.

Más allá de la teoría y los temas que me interesan, voy a ir agregando estas historias y su categoría será precisamente atemporales, a falta de un nombre mejor.

No vean en ellas una indicación de mis gustos, ni opiniones, ni preferencias, ya que muchas, muchísimas veces, hubiese preferido no conocerlas.

Preferencias (2da parte)

Ahora sí estamos en condiciones de volver con más precisión al tema de las preferencias que mencionáramos aquí. Habíamos dicho que en una situación dada, cada jugador disponía de opciones que lo conducían a distintos resultados, y que de alguna manera debíamos poder comparar entre estos resultados, decir cuáles prefería el jugador. Habíamos definido así un conjunto de preferencias, y nuestra primera intención es definir un orden sobre las mismas. El paso siguiente será representarlas numéricamente, mediante una función de utilidad.

Al conjunto de preferencias (podemos representar cada una con letras x, y, z,...) le pediremos que cumpla los siguientes tres axiomas:

i) Completitud: x es preferida a y, ó y es preferida a x

ii) Transitividad: si x es preferida a y, e y es preferida a z, entonces x es preferida a z.

iii) Reflexividad: x es preferida a x.

Observemos que podemos reemplazar la frase "es preferida a" por el símbolo matemático de "menor o igual", y si interpretamos x, y, z,... como valores numéricos del beneficio que obtenemos con cada elemento del conjunto de preferencias, de golpe todo parece tener sentido: en cada situación de un juego, preferiremos aquellas movidas o decisiones que nos hagan ganar más. Sin embargo, se pueden hacer varias objeciones a esta forma de pensar. Mencionemos por ahora dos de ellas, si bien hay más:

a.- No se ha definido ese valor numérico:

Esta es la más importante de todas, después de todo, tal vez no exista. Más aún, para demostrar que existe un valor numérico para cada preferencia (la función de utilidad), hará falta pedir un cuarto axioma.

b.- Distintas movidas podrían tener el mismo valor numérico:

En efecto, no hemos pedido que si x es preferida a y, e y es preferida a x, entonces x = y. En la práctica, suelen presentarse situaciones diferentes pero que nos dan lo mismo, y reemplazar ambas por un único valor numérico puede no ser del todo bueno. Este es el concepto de indiferencia. Un punto importante es que esta objeción seguirá presente aún cuando definamos una función de utilidad, así como algunas otras que podríamos hacer.

También, cada una de los tres axiomas podría ser criticado desde el punto de vista social o económico, exhibiendo situaciones donde no es razonable pedir que se cumpla. Estas críticas son también globales, y van más allá de la existencia de la función de utiilidad, así que las dejaremos para más adelante, ya que corresponden a la aplicación o la interpretación de esta teoría matemática, y no a la teoría en sí misma.

Por lo pronto, los tres axiomas anteriores sobre las preferencias nos dicen que el jugador debe tener un orden bien definido sobre sus preferencias.

Arquimedianidad

Todos sabemos qué son los números reales. Hasta que un día nos los presentan axiomáticamente, y a partir de ahí sólo creemos que sabemos qué son. Los axiomas se dividen en tres grandes grupos, uno referido a las propiedades de la suma y el producto (cómo operar con los números), otro a la noción de orden (lo cual nos permite pensar los números como alineados en una recta), y el tercero a la completitud (que esa recta no tiene agujeros).

Pero esta intuición de una recta donde a cada punto le corresponde un número que es la distancia respecto al origen nos comienza a quedar chica, en especial cuando uno observa que hay que demostrar propiedades muy elementales utilizando sólo los axiomas que nos dieron.

Por ejemplo, algo tan simple como suponer que para todo número real x podemos encontrar un número natural n que sea mayor debe demostrarse.

Uno diría que dado x, si tomamos su parte entera [x] (el mayor número natural que es menor a x) y ahora le sumamos 1, obtenemos un número natural más grande, [x] + 1... ¡pero la definición axiomática es independiente del desarrollo decimal según el cual tomamos parte entera!

Demostrar esta propiedad nos obliga a hacer trampas: durante mucho tiempo, ella misma fue un axioma (el axioma de Arquímedes, quien lo planteó de modo ligeramente diferente), y actualmente se la deduce del axioma del supremo (éste dice que todo conjunto acotado superiormente tiene una cota superior que es la menor de todas... definir todo con precisión me llevaría varias líneas, así que los invito a los interesados a leerlo en cualquier buen libro de análisis).

La versión de Arquímedes decía más o menos lo siguiente: dado un número positivo x, y otro y, existe algún número natural n tal que nx es mayor que y. Para ser más precisos, habría que plantearlo en relación a segmentos, y esto nos dice que con un número suficiente de segmentos de longitud x es posible cubrir un segmento mayor de longitud y.

Se podrán preguntar -si es que llegaron a esta parte del artículo- a qué viene esta disgresión sobre los números reales, cuando veníamos hablando de cosas más entretenidas como teoría de juegos.

Bien, en cualquier momento veremos que allí también aparece la arquimedianidad (¡y de qué modo!)

Fibonacci y el número de oro

Seguramente conozcan la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., y también su relación con el número de oro, ya que es el límite del cociente de dos números consecutivos. Esto es, cuando tomo números de Fibonacci cada vez mas grandes, su cociente se aproxima cada vez más a cierto valor, y éste es el número de oro.

No es difícil demostrarlo: la sucesión satisface la recurrencia
F_n+2 = F_n+1 + F_n
y si dividimos cada miembro por F_n+1, obtenemos
F_n+2/F_n+1 = 1 + F_n/F_n+1,
con lo cual, si llamamos X al número de oro, cuando tomamos límite en n, nos queda
X = 1 + 1/X
despejando, hallar X equivale a resolver la ecuación cuadrática
X² = X + 1.

Esto es muy conocido, y lo he visto en más de un ejercicio de examen sobre límites. Pero no conocía la siguiente forma de calcular las potencias del número de oro X, y que se puede demostrar sin mucha dificultad:

X² = X + 1
X³ = 2X + 1
X⁴ = 3X + 2
X⁵ = 5X + 3
X⁶ = 8X + 5
X⁷ = 13X + 8
X⁸ = 21X + 13

¿se animan a demostrarlo?

Nota al lector

Paulo Ribemboim, autor de "The New Book of Prime Number Records", escribió también un interesante libro: Fermat's Last Theorem for Amateurs. Una nota al lector, inmediatamente después del prefacio, anuncia que en el capítulo de derechos humanos de toda constitución debería figurar:

Es un derecho inalienable de cada individuo producir su propia demostración del último teorema de Fermat.

Sin embargo, tal solemne afirmación sobre el último teorema de Fermat (de ahora en adelante, EL teorema) debería atemperarse con los siguientes artículos:

Art. 1. Ningún intento de demostrar EL teorema debe duplicar jamás una anterior.

Art. 2. Es una ofensa criminal enviar demostraciones falsas a profesores que se ganan la vida arduamente enseñando como no concebir demostraciones falsas para EL teorema.

Infringir el último conduce directamente al Infierno. El criminal sólo puede regresar al Paraíso después de que haya entendido la demostración de Wiles y sea capaz de reproducirla.

Un duelo (segunda parte)

(a la primera parte)

Supongamos que la distancia inicial entre dos duelistas (A y B) es 1 (tal vez medida en años luz, no dejemos que nos parezca una distancia corta), y que la probabilidad de acertar de A cuando están a distancia x es p(x), mientras que la de B es q(x). Podemos pedir p(0)=q(0)=1, p(1)=q(1)=0. Si uno de ellos dispara y falla, el otro puede seguir acercándose para aumentar sus chances de acertar.

Ahora vamos a suponer que A tiene más información de la que realmente tiene: sabe que su rival va a disparar cuando estén a distancia x. Esto le permite demorar su tiro como mínimo hasta ese momento, ya que no tiene sentido que dispare antes (pues en caso de fallar, cuando estén a distancia x B preferirá seguir avanzando hasta que estén a distancia 0). ¿Le convendrá disparar a A a esa misma distancia, o debería dejar que B tire y seguir avanzando?

Si A dispara a esa distancia, la probabilidad de ganar es p(x), y si deja que B dispare es de 1-q(x) (es decir, el caso en que B falle). ¿Qué debe hacer? Bueno, esto depende de cuál sea mayor:

si p(x) > 1-q(x), debe disparar

si p(x) < 1-q(x), debe esperar

Es decir, debe esperar hasta que p(x) = 1-q(x).

Repitiendo el análisis para B, vamos a llegar a la siguiente conclusión: hay un valor crítico de la distancia x_d para el cual deben disparar, para el que se tiene
p(x_d) + q(x_d)= 1.

i) le dejo, como ejercicio sencillo para quien tenga ganas de revisar los conceptos, que haga las modificaciones correspondientes si la probabilidad de acertar a la distancia 1 es mayor a cero, o si la probabilidad de acertar a distancia 0 es menor a uno.

Un duelo

De chicos seguramente hemos utilizado la pisada para decidir entre dos quién ganaba. El procedimiento, según recuerdo, era bastante sencilo: nos ubicábamos a cierta distancia y podíamos elegir entre saltar y llegar a donde estaba el otro, o avanzar un poco (un paso, o menos) y dejarle el turno al otro.

Hay poca diferencia teórica entre este juego y un duelo a pistola con un solo tiro en el que podemos ir acercándonos al otro, en ambos podemos elegir entre disparar o acortar la distancia que nos separa del rival, arriesgándonos al avanzar a que sea nuestro rival quien dispare primero. El problema se puede modelar con muy pocas herramientas de teoría de juegos, y sólo depende de conocer la probabilidad de acertar que tiene cada jugador si dispara cuando están a distancia x. En un próximo post la desarrollo.


(a la segunda parte)

Tipos de bienes

Magdalena Ruiz Iguiñazú es una de las nuestras mejores periodistas, pero en Perfil del domingo extrae como copete una frase que supuestamente dijo el entrevistado:

"Aquí, el dólar sube y la gente lo compra más" El mercado argentino funciona al revés, dice el ex viceministro

En realidad, buscando en la nota, uno encuentra otra cosa:

"El dólar tiene esa característica: ¡es el único producto que, cuando sube de precio, hace que la gente lo compre más! Es al revés de cualquier otro mercado!"

Podrá parecerle a ella que ambas cosas son iguales, pero no lo son: el comportamiento atípico del mercado del dólar lo es en relación a otros bienes, pero no es una cuestión de nacionalismos.

Se suele definir como bienes típicos aquellos cuya demanda cae cuando aumentan de precio: al salir más caros, la gente los compra menos. Esto parece razonable, y si uno lo piensa parece lógico que debería ocurrir con todos los bienes. Sin embargo, hay excepciones.

Una son los bienes de Giffen, aquellos que están tan abajo en las preferencias de la gente que su consumo aumenta al aumentar los precios en general porque actúan como sustitutos. Otra, los bienes de Veblen, bienes de lujo cuyo consumo depende de que sean caros, ya que eso es lo que les da el status para ser atractivos a ciertos consumidores. Y también hay unos muy similares, definidos en función de la baja del precio: aquellos que son menos consumidos cuando baja su precio. No son las únicas excepciones, existen comportamientos en manada, que cuando más gente compra un bien, más desean comprarlo y lo compran, aunque el precio aumente (esto ocurre con las modas). Son comportamientos atípicos, contrarios a los que uno espera, pero no tan extraños.

No es tan sencillo llevar el paralelo al mercado bursátil y el monetario (porque si hay un precio, es porque hay una operación de compra-venta), pero es lo que se observa en este tipo de crisis. Podemos pensar que también las acciones en la bolsa pierden su atractivo cuando el precio disminuye, y cuanto más cae su precio, hay menos interesados en comprarlas. Y al contrario ocurre con el dolar (u otra moneda percibida como fuerte, o con el oro): al aumentar su precio, aumenta su demanda, ya que se lo percibe más fuerte o más seguro. O con los bonos, que comienzan a pagar más interés (es decir, son más baratos) pero los inversores los dejan de lado por bonos más sólidos. Y esto es un fenómeno mundial.

La historia de la humanidad

La historia cultural de Occidente no está desligada de Irak: las referencias bíblicas sobre Babilonia, la tableta Plimpton 2322 con ternas pitagóricas (anterior a Pitágoras en más de 1500 años), el código de Hammurabi... sin dejar de lado que allí nace la escritura, o los monumentos arquitectónicos.

Desde antes de la guerra de Irak se advirtió sobre el riesgo que corrían los sitios arqueológicos, y durante la misma se vio que fueron saqueados junto con los museos. Recién ahora el ejército norteamericano toma una medida al respecto, tan ridícula que cuesta creerla: repartir mazos de cartas entre los soldados con leyendas sobre estos sitios como "circule por el costado -no por encima- de sitios arqueológicos", "este sitio sobrevivió durante 17 siglos. ¿Lo sobrevivirá a usted?", "Respect ruines whenever possible... "

Link: http://blogs.guardian.co.uk/art/2007/06/drive_around _not_over_archaeol.html

Estrategias mixtas

Habíamos hablado (aquí) de las estrategias puras. Lamentablemente, no son suficientes para todo juego. Es decir, hay situaciones donde no hay estrategias puras, y uno debe recurrir a estrategias mixtas.

El mejor ejemplo de esto -y cualquier argentino (con dolor) o alemán (con alegría) lo recordará- es el problema de patear un penal. Simplificando, digamos que el jugador y el arquero sólo pueden ir a izquierda o a derecha, y que si ambos eligen el mismo lado (resp., lados opuestos) gana el arquero (resp. gana el jugador). Si el arquero (o el jugador) tiene una rutina establecida, una estrategia pura que le dice a dónde debe patear, y el otro la descubre, entonces es fácil anticiparse.

En estos casos se dice que hay que emplear una estrategia mixta, que será una combinación de las dos estrategias disponibles: patear a la derecha, patear a la izquierda. Sólo falta decidir con qué frecuencia hay que hacerlo a cada lado, pero eso dependerá de nuestra habilidad. Si nos da lo mismo izquierda o derecha, se repartirán un 50% para cada dirección (por ejemplo tirando una moneda antes de cada tiro), pero si nuestra habilidad es mayor en una dirección que en otra, entonces habrá que buscar la proporción justa de tiros entre ambas.

En definitiva, una estrategia mixta es una distribución de probabilidad entre las opciones que tenemos.

Market of Lemons

Antes de seguir con tecnicismos, comentemos brevemente un juego sencillo. Se trata de dos personas, una que quiere comprar un automóvil usado y la otra que es quien lo vende. El vendedor pide 20 mil dólares por el vehículo, y el comprador debe decidir qué hace.

Razona para sí: "si el auto está en buen estado, 20 mil es un precio justo, pero si debo arreglarle el motor, eso me saldría 10 mil, y por lo tanto debería pagarlo sólo 10 mil."

Entonces, ¿qué debería hacer? La respuesta natural es contraofertar, proponer un nuevo valor. Observemos que hay un punto en el que ambos están de acuerdo: el auto en buen estado vale 20 mil. Pero hay otro punto en el que no están de acuerdo: ¿cuál es el estado del auto? Si está perfecto, vale los 20 mil, pero si no lo está, el comprador puede perder 10 mil dólares para arreglarlo.

Una solución razonable -desde el punto de vista del comprador- es ofrecer 15 mil. Después de todo, está comprando casi al azar, y reparte así con el vendedor los diez mil que están en dudas: si está perfecto, el comprador gana 5 mil, si tenía que arreglarlo, pierde 5 mil.

Pero esta solución no lo es desde el punto de vista del vendedor. Él sabe cómo está el automóvil, y si vale más de 15 mil, no lo venderá.

Y el comprador, que no es tonto, advierte ésto, con lo cual sabe que si el vendedor le acepta el precio de 15 mil, es porque el autómovil vale eso o menos.

De golpe, observamos que la clave es que la diferencia entre ambos es la información que se tiene sobre el estado del automóvil. Comprar un automóvil usado es un juego de información asimétrica, donde un jugador (el vendedor) tiene ventaja sobre el otro.

La historia de este análisis es apasionante. Por ahora, digamos solamente que su autor, George Akerlof, terminó ganando el premio Nobel de economía por él.

Preferencias

La teoría de juegos tiene distintas herramientas y técnicas, y también distintos puntos de partida. Un principio tan bueno como cualquier otro es ponerse en la piel de un único jugador, así que eso es lo que haremos.

Dada una posición en un juego cualquiera (y recordemos que por juego entendemos cualquier situación en la que hay que tomar una decisión), nuestro único jugador debe hacer alguna movida, con lo cual cambiará la situación por una nueva. Cada movida posible -cada decisión que puede tomar- lo conduce a un nuevo escenario, con lo cual podríamos analizar cuál de todos los nuevos escenarios le conviene más. Seguramente preferirá unos a otros, y cada uno de nosotros tiene una evaluación previa (o la hace en el momento) que nos dice de dos posiciones cuál nos resulta más conveniente.

Con mucha lógica, a esto se lo llama un conjunto de preferencias.

Una solución completamente naive del problema es recorrer el conjunto de opciones, partiendo de una cualquiera x, cambiándola luego por otra y si preferimos y en lugar de x. Así, cuando recorremos las opciones, las iremos mejorando, y al recorrer todo el conjunto, nos habremos quedado con la mejor.

Pues no. Para que eso ocurra, nuestro conjunto de preferencias debe ser muy especial, y definir un orden total sobre nuestras opciones. Vamos a mirar con más cuidado este tema en un próximo post.

Toma de decisiones

Decíamos en el post anterior que el objetivo de la teoría de juegos no se relaciona con divertirse, sino con ganar. Hay quienes afirman que el nombre fue mal elegido, y que sería mejor uno neutro o que suene más serio: toma de decisiones es una de las mejores alternativas. En un juego, elegir la movida en una posición dada, o el plan de acción, o una estrategia, es tomar una decisión.

Toma de decisiones es un nombre que inspira respeto. "Voy a estudiar procesos de tomas de decisiones", "trabajo en el análisis de decisiones", "reduzcamos el problema a uno de tomar la decisión correcta": todo esto parece mejor que hablar de juegos y movidas, pero no dejemos que las palabras nos engañen. Una vez que introducimos un formalismo matemático y analizamos los problemas bajo esta óptica, poco importa el nombre que le hayamos puesto a la teoría, e incluso a los objetos que estudia. Como decía Hilbert, en lugar de puntos, rectas y planos, podríamos hacer geometría hablando de sillas, mesas y vasos de cerveza.

Podríamos preguntarnos, de todos modos, si tal nombre es conveniente, si es mejor... porque después de todo, los ecos que provoca en nuestras mentes la palabra "juego" pueden incitarnos a estudiar tal teoría, y no una teoría de aspecto aburrido como la de toma de decisiones.

Teoría de juegos y estrategia puras

Entre 1928 y 1941 el genial matemático húngaro John von Neuman desarrolló los principales elementos de la teoría de juego, y en 1944 publicó con Oskar Morgenstern el que sería el primer libro sobre este tema.

Es cierto que antes algunos matemáticos habían obtenido unos pocos resultados aislados para distintos problemas (regatas, poker, juegos de cartas), pero von Neuman sistematizó los problemas e introdujo la idea de estrategia pura.

¿Qué es una estrategia pura? Simplemente es una decisión a priori del jugador sobre qué jugar ante cada situación del juego. Podemos considerar que un juego es una sucesión de movidas, y que jugar consiste en elegir nuestras movidas: una estrategia pura es entonces una regla sobre cómo hacer esta elección. Se puede considerar que una estrategia pura restringe nuestra libertad de actuar, y así es. Podríamos incluso programar una computadora para que la lleve adelante y despreocuparnos.

Estaremos de acuerdo, creo yo, que al jugar de esta manera eliminamos la diversión.

Bien, así debe ser. El objetivo de la teoría de juegos no es divertirse ni pasar el rato: el objetivo es ganar. (continuará)

IQ promedio más alto

La revista Nature, la de mayor índice de impacto (otro día hablaremos de ese tema) publica un estudio Noruego donde se compara el coeficiente de inteligencia promedio de hermanos: los más viejos tienen IQ más alto. Para tres hermanos, los valores promedio son 103, 100 y 99.

Lo más sorprendente es que cuando uno de los hermanos más viejos muere, los que le siguen ¡aumentan su IQ! El artículo puede verse aquí, aunque es necesaria una suscripción a la revista para obtenerlo completo.

Revistas matemáticas en español

Leo en Gaussianos que se la semana anterior se presentó la Biblioteca Digital Española de Matemáticas (DML-E). Y en los comentarios, Juan de Mairena agrega Latindex. Enlazan también World Digital Mathematical Library, y para aportar algo más a este post, digamos que existe una inciativa similar japonesa, J-STAGE, otra polaca (ICM), otra italiana (REIMS) y el Directory of Open Access Journals (DOAJ).

(Por cierto, Gaussianos y Juan de Mairena son dos weblogs de matemática, y el último tiene una gran colección de enlaces a otros weblogs de matemáticas y de física!)

Cyberguerra

Escribíamos hace unos días sobre el ciberataque a Estonia, y ayer Le Monde publicó una breve entrevista sobre el tema a una experta, Athina Karatzogianni, la autora de este libro The Politics of Cyberconflict: Security, Ethnoreligious and Sociopolitical conflicts.

Me resulta difícil no reflexionar sobre lo sucedido en Tierra del Fuego hace apenas unos días. Hay todo un campo de acción y de investigación referido a la red sobre el cual no se suele hablar, que sólo aparece cuando los efectos son tan grandes se vuelve inevitable mencionarlos.

Pierre Simon de Laplace

La probabilidad es el sentido común reducido al cálculo.

Y también:

La probabilidad es la medida de nuestra ignorancia.

Y muchas otras frases más.

Pero Laplace no se limitó a enunciar frases interesantes, hizo además un uso muy inteligente de la probabilidad. El más asombroso, creo yo, fue utilizarla para estimar la masa de Saturno. Sus ideas causaron mucho revuelo al respecto -después de todo, la masa de Saturno no es un evento aleatorio!- pero al día de hoy, con las mediciones más modernas de la NASA, el valor oficial cae dentro del intervalo de error del valor calculado por Laplace.

Cuatro colores

Uno de los problemas secillos de explicar a quienes no son expertos en matemáticas pero que disfrutan con ellas es el de pintar mapas con sólo cuatro colores. Dado un mapa cualquiera, no lleva mucho tiempo hallar la forma de pintarlo con esta restricción, pero lo que resulta verdaderamente difícil es demotrar que todo mapa puede pintarse con cuatro colores.

Este problema se resolvió finalmente en 1976, con la demostración de Appel y Haken. La demostración utilizó computadoras, y es la primera de ese tipo (distingamos aquí las demostraciones donde un cálculo se realiza en una máquina, aunque podría hacerse a mano, de una tarea que humanamente era imposible de realizar y, por lo tanto, de que puedan chequearse a mano sus resultados).

Durante veinte años no hubo otra demostración para este problema, pero en 1996 los matemáticos Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour, y Robin Thomas dieron una demostración más simple (aunque aún computacional) en A New Proof Of The Four-Colour Theorem. El artículo salió publicado en Electronic Res. Announc., Amer. Math. Soc. 2, 17-25.

El artículo, nada trivial, puede bajarse de esta página.

El teorema del día

The Theorem of the Day es una página de Robin Whitty que contiene 52 teoremas diferentes, con una breve explicación, un glosario de términos técnicos, y referencias.

Hay teoremas clásicos, como la fórmula de Euler, el teorema de los cuatro colores, la fórmula de Bayes, y -cómo que no- el último teorema de Fermat.

El MITico MIT

Es mítico el nivel educativo del MIT, y si hace unos años nos sorprendía con el OpenCourseWare, donde uno puede encontrar material para cursos de toda clase y de cualquier ciencia, ahora nos sorprende con el MIT Lecture Browser.

¿Nunca te preguntaste si entenderías una clase universitaria en inglés? ¿Si podrías seguirla? A mí, al menos, me ha costado mucho entender algunas clases aún estando en castellano (¡la mayoría!), y a veces para entenderlas no tuve problemas leyendo textos en inglés, pero me he preguntado muchas veces si podría seguir al profesor hablando en otro idioma. Bien, ahora se puede probar.

¿Qué es el Mit Lecture Browser? Una página web donde recopilan clases y seminarios indexados con un software de reconocimiento automático de la voz. Uno puede ver el video por la web y seguir en simultáneo la transcripción en inglés.

Como todo está en este idioma, es un buen intrumento para practicarlo, repasando o aprendiendo de paso los temas que nos interesen. Las áreas que cubren van de artes y humanidades a biología, física, matemática y computación. Por supuesto, también ingeniería, arquitectura o economía... ¡de todo!

Sólido o líquido?

Coincidíamos con Sable en su comentario a un post anterior en que uno ya ha perdido la cuenta de la cantidad de estados de la materia. Es que no son estados que uno se encuentre a menudo, sometidos a presiones o temperaturas poco habituales.

Sin embargo, en algunos casos podemos distinguir algunos de estos comportamientos poco frecuentes en objetos o materiales que no nos son del todo extraños. Por ejemplo, una simple mezcla de almidón de maíz y agua:




La mezcla responde al movimiento como un sólido, aunque en reposo fluye como un líquido. Si observan otros videos en youtube verán el comportamiento de la mezcla cuando se la coloca sobre un parlante (advertencia: si lo van a hacer, consigan una película de papel film sana, y mucho más grande que el parlante, porque la maicena comienza a caminar!)

¿Se puede hacer algo más interesante? ¡Claro! Observen qué ocurre con una piscina llena:

Mala conexión

Esta semana fue difícil el acceso a blogger, y quedaron un par de noticias de lado que me hubiese gustado mencionar. Pero el periodismo y la divulgación científica no deberían seguir la costumbre de la prensa habitual, que lo que hoy es noticia mañana ni se menciona, y lo que se publicó ayer ya está olvidado. La publicación de un artículo es para muchos el único momento en que vale la pena mencionarlo, y si Science o Nature ya publicaron un nuevo ejemplar, entonces perdió la novedad.

Del otro lado del artículo, los autores pudieron haber estado trabajando durante meses, y el trabajo puede ser el resultado de años de formación en un tema. Para cuando sale en un journal científico, para ellos ya es viejo en el sentido que recibieron la aceptación varias semanas antes, después de esperar durante algunos meses la opinión de un referee que lo leyó.

Así que no nos hemos perdido nada y sigamos adelante.

Cyberataque a Estonia

Encuentro en el weblog de Mariano Amartino la noticia del cyberataque que está sufriendo Estonia. Les recomiendo el link que ofrece al New York Times.

Nuestra prensa no ofrece información al respecto, apenas una nota de La Vanguardia en Clarín y otra de Gustavo Sierra, más de opinión que de información; y nada en La Nación, si bien se pueden hallar toneladas de información en la red buscando simplemente google. Una paradoja es que en Estonia este medio no funcionaría para informarse, y todo un signo de la creciente dependencia de la red.

De Rerum Natura

Lucrecio es una de las excepciones del mundo antiguo. Romano -al menos, allí vivía, aunque su origen aún se discute-, se dedicaba a la poesía, pero difundió en sus poemas las ideas de Epicuro y Demócrito.

Hay un argumento de Lucrecio muy inteligente: la demostración de la infinitud del espacio. El argumento se basa en un experimento mental, suponer que el universo tiene un borde donde termina, y tratar de atravesar ese borde con una lanza. Si la lanza cruza, entonces no termina ahí sino que se extiende más allá del límite; si la lanza no puede cruzar, es porque algo la detiene, y existe un cuerpo más allá del borde del universo que la frena. En uno u otro caso, el borde no es tal, ya que el universo continúa más allá.

Sin embargo, el argumento falla. El mismo sólo demuestra que el universo no podía tener un borde, pero aún así podía ser finito. ¿Te imaginas cómo?

Estados de la materia

¿Cuántos estados de la materia hay? ¿Tres(sólido, líquido, gaseoso)? ¿Cuatro (y plasma)? ¿Cinco...?

Reconozco que en estos dos o tres últimos años he perdido la cuenta. Coloide, superfluido, fluido supercrítico, supersólido, condensado de Bose-Einstein, condensado fermiónico, materia extraña, materia degenerada, plasma de quark y gluones, estado de Efimov...

Y hay más en la lista, ya confirmados o por confirmarse. Cada uno tiene sus propiedades que lo diferencian, y merecerían un tratamiento mucho más extenso que este simple post.

Como una muestra mínima, el fluido supercrítico se comporta como un gas para filtrarse entre los sólidos, si bien aún es capaz de disolverlos como un líquido. El nombre proviene de que la temperatura y la presión de la sustancia están por encima de los valores críticos de la presión y la temperatura con los cuales la densidad de las fases líquidas y gaseosas se igualan.

Aves de ciudad

No es ninguna novedad que los asentamientos urbanos cambian el paisaje. Tampoco lo es que modifican nuestra forma de vida, pero este último cambio ¿es social y/o cultural o es también un cambio biológico y/o genético?

En septiembre del año pasado, Jesko Partecke, Ingrid Schwabl y Eberhard Gwinner (de la Max-Planck-Society) publicaban en Ecology el artículo "Stress and the City": Urban Birds keep Cool, donde demostraban que las aves urbanas eran más resistentes al stress que las aves de un bosque.

Ahora, un nuevo trabajo de Partecke y Gwinner en la misma revista, Increased sedentariness in European blackbirds following urbanization: A consequence of local adaptation?. Experimentando con huevos recogidos en el campo y en la ciudad e incubados en el laboratorio, encontraron que los machos nacidos en la ciudad maduraban antes para reproducirse, pero por otra parte eran más sedentarios. Y lo más sorprendente es que machos y hembras parecen haber evolucionado en forma diferente. Efecto de los sillones, la tv y la cerveza alemana, tal vez ;)

El primer artículo puede encontrarse aquí, mientras que el segundo está en el ejemplar de abril de Ecology, ambos disponibles en pdf.

Los Hermanos Wright

Hace exactamente 101 años, un 22 de mayo pero de 1906, los hermanos Wright patentaban la técnica que llamaron "wing-warping", y que se suele traducir como "alabeo del ala". ¿Recuerdan en la clasificación de rectas, las rectas alabeadas? Bien, de eso se trata. Retorcer los lados del ala, deformando la superficie.

La imagen que sigue es del propio Wilbur Wright:



La técnica les permitía controlar el avión, efecto que se logra hoy mediante distintas deformaciones. Existen, en matemáticas, las llamadas "warped surfaces" o superficies alabeadas. Estas son parte a su vez de las superficies regladas, aquellas que están formadas por el movimiento continuo de una recta, su generatriz. El nombre de regladas sale de que pueden generarse con el borde de una regla, y el de alabeadas se debe a que el plano tangente en cualquier punto, si bien contiene a la recta generatriz, no es el plano tangente en otros puntos de esa misma recta.

Al día de hoy, estos temas geométricos se siguen estudiando: para el diseño de barcos, de naves espaciales, de nuevos aviones. Y las computadoras son una gran ayuda.

Pierre de Fermat

Como seguramente sabrán, el teorema de Fermat es aquella corta afirmación según la cual no hay soluciones enteras (es decir, números a, b, y c enteros) que cumplan
aⁿ + bⁿ = cⁿ
si n es mayor que 2. De algún modo llegó a esta conclusión en 1637 mientras leía sobre las ternas pitagóricas en una copia de la Aritmetica de Diofanto.

Las ternas pitagóricas son las posibles longitudes enteras de los lados y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es decir, aquellos enteros a, b, y c que cumplen el teorema de Pitágoras
a² + b² = c²
Pero Fermat sólo nos dio el enunciado, y escribió a continuación que el margen del libro era demasiado estrecho para anotar allí la demostración. Que sepamos, jamás volvió a hablar o escribir del tema. Fermat murió en 1665, y se llevó la demostración a la tumba. Pasarían más de 300 años antes de que otro matemático, Andrew Wiles, fuera capaz de dar una demostración.

Hay una incógnita flotando sobre este teorema: ¿tenía Fermat en realidad una demostración? Hay distintas razones para creer que no:

i) nunca le mencionó su teorema a sus numerosos corresponsales (sólo los casos n=3 y n=4), sin embargo acostumbraba desafiar a los matemáticos de toda Europa.

ii) todos sus otros enunciados fueron demostrados a lo largo del tiempo con técnicas elementales, algunos por sus contemporáneos, otros en los siglos siguientes; este teorema resistió las mejores mentes de todo el mundo.

iii) es la única mención en toda la obra de Fermat de una curva de género distinto de cero (esto fue notado por Andre Weil, uno de los más destacados matemáticos de teoría de números del siglo veinte y también miembro fundador del grupo de matemáticos conocido con el nombre de Nicolás Bourbaki). El concepto de género no es sencillo de explicar aquí y ahora, tal vez en otra ocasión podamos referirnos a él.

¿Tenía o no una demostración? Poco importa ya. ¡Lo que hubiese sido una pena es que no anotase aquella frase en el margen del libro!

Experimentos caseros

¿Es posible medir la velocidad de la luz sólo con una regla, con confites de chocolate y con un microondas?

¡Claro que sí! Este sencillo experimento -y muchos otros más- pueden encontrarse en la columna de Roger Highfield, Dr Roger's Home Experiments.

La explicación está en un video en inglés, y si no la entiendes, ¡mejor! Trata de deducir los pasos a partir de la filmación, lo cual será más provechoso para tí.